[구조동역학 기초수학 01] 피타고라스는 왜 삼각함수로 이어질까?｜길이에서 비율로

 

 

 

 

 

 

오늘의 질문

피타고라스 정리와 사인·코사인은 어떻게 연결될까?

피타고라스 정리는 직각삼각형의 변의 길이를 연결한다. 사인과 코사인은 직각삼각형에서 변의 길이의 비를 각도와 연결한다.

 

 

피타고라스 정리 → 직각삼각형의 변의 길이 연결

 

 

사인과 코사인은 직각삼각형에서 변의 길이의 비를 → 각도와 연결

 

 

 

이번에는 이 두 관계를 이어서 다음 식이 어떻게 나오는지 살펴보려 한다.

오늘은 먼저 직각삼각형의 예각, 즉

 

 범위에서 생각한다. 이를 다른 각도로 확장하는 과정은 다음 편의 단위원에서 이어갈 예정이다.

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1. 직각삼각형의 세 변을 정해보자

직각삼각형 하나를 생각해보자.

가로변의 길이는 x, 세로변의 길이는 y, 빗변의 길이는 r로 정한다.

 

각도

 

는 가로변과 빗변 사이의 각도다.

 

이때 피타고라스 정리는 다음과 같다.

예를 들어 가로변이 4, 세로변이 3이면,

따라서 빗변의 길이는

가 된다.

여기까지는 세 변의 길이 사이의 관계다.

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2. 삼각형이 커지면 무엇이 달라질까?

이번에는 이 삼각형을 같은 모양으로 두 배 키워보자.

 

구분	가로변 x	세로변 y	빗변 r
원래 삼각형	4	3	5
두 배로 키운 삼각형	8	6	10

각 변의 길이는 두 배가 되었지만, 같은 모양으로 확대한 것이므로 대응하는 각도는 변하지 않는다.

변의 길이를 서로 나누면 어떨까?

 

가로변을 빗변으로 나누면,

세로변을 빗변으로 나누면,

이 된다.

삼각형의 크기는 달라졌지만, 대응하는 변의 길이 비는 같다.

닮은 직각삼각형에서 이 비율이 일정하다는 점을 이용하면, 특정 각도에 대응하는 비율을 정의할 수 있다.

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3. 그 비율에 이름을 붙인 것이 사인과 코사인이다

앞에서 정한 각도를 기준으로 하면,

 

cos() = 이웃한 직각변 / 빗변 = x / r

cos() =  맞은편 직각변 / 빗변 = y / r

 

 

앞의 3–4–5 삼각형에서는 다음과 같다.

여기서 중요한 점은 사인은 무조건 세로, 코사인은 무조건 가로라고 외우지 않는 것이다.

 

이번에는 각이 가로변과 빗변 사이에 잡았기 때문에 그렇게 표현된 것이다.

기준 각도를 다른 예각으로 바꾸면 맞은편 변과 이웃한 변도 바뀐다.

 

또한 같은 단위로 측정한 길이를 서로 나눈 값이므로, 이 비율에는 길이 단위가 남지 않는다.

 

 

이 비율에는 길이 단위가 남지 않는다.

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4. 피타고라스를 길이의 비로 바꾸어보자

다시 출발식으로 돌아가자.

 

빗변의 길이 r는 0보다 크므로, 양변을 r^2으로 나눌 수 있다.

 

각 항을 비율의 제곱으로 쓰면,

이다.

앞에서 정의한 관계를 넣어보자.

따라서,

이 된다.

새로운 공식을 갑자기 꺼낸 것이 아니다.

 

피타고라스 정리를 빗변의 제곱으로 나누고, 변의 길이 비를 사인과 코사인으로 바꿔 쓴 것이다.

 

참고로

를 뜻한다. 각도 를 제곱한다는 뜻이 아니다.

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5. 숫자를 넣어서 확인해보자

앞에서 구한 값은 다음과 같다.

이 값을 대입하면,

이 된다.

삼각형의 크기를 두 배로 키워도 두 비율이 같으므로 결과는 변하지 않는다.

다만 숫자 하나를 대입해 맞는지 확인하는 것과 일반적인 관계를 유도하는 것은 구분해야 한다.

위의 숫자 계산은 예제의 검산이고, 일반적인 연결은 앞에서 x, y, r를 이용해 전개한 과정이다.

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6. 오늘 내 손으로 확인할 내용

이번 편에서는 직각삼각형을 직접 그리고, 각도와 변의 이름부터 표시해보려 한다.

오늘은 간단한 풀이로 손글씨(생략)

사진 설명:

01편 손글씨 학습 기록. 피타고라스 정리를 변의 길이 비로 바꾸고, 다른 숫자의 예제로 관계를 확인하는 과정.

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오늘의 핵심정리

피타고라스는 세 변의 길이를 연결한다.

사인과 코사인은 변의 길이 비를 각도와 연결한다.

피타고라스 정리를 빗변의 제곱으로 나누면, 사인과 코사인의 제곱합 관계가 나온다.

다음 편에서는 이 관계를 반지름이 1인 원, 즉 단위원으로 옮겨본다.

 

 

단위원

 

 

「사인·코사인과 단위원｜각도를 좌표로 바꾸기」로 이어갈 예정이다.

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