[구조동역학 기초수학 04] 사인파는 어떻게 읽을까?｜진폭·주기·위상을 그래프로 이해하기

 

 

참고 그림: 사인과 코사인의 기본 그래프. 위 그림의 가로축 x는 각도(rad)이며, 아래 본문에서 사용하는 시간축 t (초)와 구분해서 읽는다. 두 함수는 같은 모양을 가지며, 한 주기의 1/4만큼 수평이동하면 서로 겹친다.

 

오늘의 질문

 
같은 사인파인데, 왜 어떤 것은 크게 흔들리고, 어떤 것은 빠르게 반복하며, 어떤 것은 다른 위치에서 시작할까?
 
02편에서는 사인과 코사인을 단위원 위 점의 좌표로 이해했다.
03편에서는 각도를 호의 길이와 연결하며 라디안을 공부했다.
 
이번에는 그 각도가 시간에 따라 변한다면 어떤 그래프가 만들어지는지 살펴본다.
 
오늘 읽어볼 식은 다음과 같다.

 
처음에는 기호가 많아 보이지만, 중심 질문은 세 가지다.
얼마나 크게 움직이는가? 얼마나 자주 반복하는가? 한 주기의 어느 상태에서 시작하는가?
각각 진폭, 주기·진동수, 초기위상과 연결된다.
사인이나 코사인으로 표현되는 조화진동은 이러한 요소를 구분해 읽을 수 있다. 
이번 편에서는 기준 위치를 u=0 으로 잡고, 진폭과 주기가 일정한 하나의 사인파만 다룬다.
식에서

으로 정하고, 각도는 모두 라디안으로 사용한다.

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1. 단위원의 각도를 시간에 따라 움직여보자

단위원에서 점의 세로좌표는 다음과 같았다.

이제 각도 Θ가 일정한 비율로 증가한다고 생각해보자.

 
 

Θ가 일정한 비율로 증가한다고 생각

 
 
 
여기서 ω는 시간에 따라 각도가 증가하는 비율, Φ는 시간을 재기 시작한 순간의 각도다.
이 관계를 사인함수에 넣고, 세로방향 크기를 A배 하면,

가 된다.
 
원 위 점의 위치를 시간에 따라 읽으면, 사인이나 코사인으로 나타나는 반복운동을 표현할 수 있다. 이것은 조화진동을 이해하는 한 가지 방법이다. 
 
식의 기호를 정리하면 다음과 같다.

 

이때 Φ는 원주율 π와 다른 기호다. 예를 들어 초기위상 Φ의 값이 π/2라고 쓸 수 있다.

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2. 진폭｜기준 위치에서 얼마나 멀리 움직이는가?

사인함수의 값은 -1부터 +1 사이에서 변한다. 여기에 양수 A를 곱하면 변위는 -A부터 +A까지 변한다.
진폭은 그래프의 중심선에서 최대 또는 최소 위치까지의 거리다. 이번에는 중심선이 u=0이므로 진폭이 최대 변위의 절댓값과 같다. 
 
예를 들어 다음 식을 보자.
 

이 글의 예제에서는 t를 초 단위의 수치로 넣고, u를 mm로 읽는다.
 
진폭은,

이다. 따라서 그래프의 위쪽 끝은 +10mm, 아래쪽 끝은 -10mm다.
 
하지만 두 끝 사이의 전체 높이는,

이다.
 
즉, 이 예제에서는 다음을 구분해야 한다.

진폭을 그래프 전체 높이로 읽으면 두 배로 잘못 판단하게 된다.
 
또한 t=0을 대입하면,

 
이다. 처음 변위는 0이지만 진폭은 10mm다. 처음 위치와 진폭도 서로 다른 값이라는 것을 확인할 수 있다.

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3. 주기·진동수·각진동수｜같은 반복을 세 가지로 표현하기

주기 T는 한 번의 반복에 걸리는 시간이고, 진동수 f는 단위시간당 반복 횟수다.
시간을 초로 측정하면 주기의 단위는 s, 진동수의 단위는 Hz다.
둘은 다음과 같이 연결된다.

 
예를 들어 한 번 반복하는 데 2초가 걸리면,

이다.

각진동수에는 왜 2π가 들어갈까?

03편에서 한 바퀴는 2π라디안이었다.
 
사인파도 각도가 2π만큼 증가하면 한 주기를 완료한다.
따라서 한 주기 T 동안 증가한 각도는,

가 되어야 한다.
 
이를 정리하면,

이고,

가 된다. 주기, 진동수, 각진동수는 같은 반복 특성을 서로 다른 방식으로 나타낸다. 
앞의 2초 주기 예제에서는,

이다.

 

여기서 ω = π rad/s 라고 해서 1초에 π번 진동한다는 뜻은 아니다.

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4. 다섯 점을 계산해서 사인파를 직접 그려보자

이제 다음 식의 그래프를 그려보자.

앞에서 확인한 특성은 다음과 같다.

한 주기를 네 구간으로 나누면,

이다.
사인파는 한 주기 안의 주요 다섯 점을 계산하면 기본 형태를 그리기 쉽다. 

 

가로축에 시간, 세로축에 변위를 놓고 이 다섯 점을 표시한다. 점 사이를 꺾은 직선이 아니라 부드러운 곡선으로 연결하면 한 주기의 기본 모양을 그릴 수 있다.
이 예제의 변화는 다음과 같다.

1초에도 0으로 돌아오는데, 주기는 왜 2초일까?

t=0과 t=1에서 변위는 모두 0이다.
하지만 \(t=0\)에서는 그 직후 변위가 양의 방향으로 증가하고, \(t=1\)에서는 그 직후 음의 방향으로 감소한다.
단지 같은 높이를 지났을 뿐, 반복의 같은 상태로 돌아온 것은 아니다.
t=2에서는 다시 0을 지나 양의 방향으로 증가한다.
그래서 이 예제의 주기는 2초다.

주기를 읽을 때는 같은 변위값만 찾지 말고, 그래프가 같은 방향으로 이어지는지도 확인하자.

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5. 숫자 하나를 바꾸면 그래프의 무엇이 달라질까?

기준식을 다음과 같이 두자.

 
이 식에서 한 요소씩 바꾸어 계산해보면 차이가 분명해진다.

 

이 표는 각 식에 A, T=2π/ω, 수평이동 관계를 적용해 계산한 결과다.
사인함수의 진폭·주기·수평이동은 서로 구분해서 읽을 수 있다.
 
여기서 특히 구별할 것은 크게 움직이는 것과 자주 반복하는 것은 다르다는 점이다.
 
진폭만 두 배로 바꾼 식에서는 한 주기에 걸리는 시간이 그대로다. 반면 각진동수를 두 배로 바꾼 식에서는 진폭이 그대로이고 주기가 절반으로 줄어든다.

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6. 위상｜같은 반복의 어느 부분에서 시작하는가?

이번에는 다음 두 식을 비교해보자.

두 식은 진폭과 각진동수가 같다. 따라서 진폭은 모두 10mm, 주기는 모두 2초다.
다른 것은 초기위상이다.

시간을 재기 시작한 순간의 변위를 계산하면,

이다.
 
첫 번째는 중심을 통과하는 상태에서 시작하고, 두 번째는 양의 최대변위 상태에서 시작한다.

왜 왼쪽으로 0.5초 이동할까?

두 번째 식에서 π를 묶어보자.

따라서,

이다.
기준 그래프의 0.5초 뒤 값을 지금 읽는 것이므로, 그래프 전체가 왼쪽으로 0.5초 이동한 것과 같다.
실제로 기준식은 t=0.5초에서 +10mm에 도달하지만, 두 번째 식은 t=0에서 이미 +10mm다.
 
반복 속도가 빨라진 것이 아니라, 같은 반복의 다른 부분에서 시작한 것이다.

초기위상과 시간 이동량은 단위가 다르다

초기위상 Φ는 라디안으로 나타내는 각도다. 시간축에서 이동한 양은 초로 나타낸다.
현재 사용하는 식처럼

이고 ω>0 일 때, 오른쪽 이동을 양수로 정한 시간 이동량  τ는 다음과 같다.

이 관계는 괄호 안을 ω(t-τ)로 묶으면 확인할 수 있다. 따라서 이 표기에서는 Φ>0이면 왼쪽으로, Φ<0이면 오른쪽으로 이동한다.
 
이번 예제에서는,

이다.
 
π/2 라디안을 그대로 π/2 초의 이동이라고 읽으면 안 된다.
또한 위상을 단순히 “처음 변위”라고만 이해해서도 안 된다.
예를 들어 초기위상이 0과 π이면 둘 다 처음 변위는 0이지만, 그 직후 움직이는 방향이 반대다.

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7. 사인과 코사인은 서로 다른 종류의 진동일까?

다음 관계를 보자.

따라서 앞의 위상 변경 예제는,

로도 쓸 수 있다.
사인과 코사인은 서로 다른 종류의 진동이라기보다, 위상차로 연결되는 같은 형태의 함수다. 조화진동은 초기위상을 알맞게 선택하면 사인 또는 코사인으로 표현할 수 있다.
 

위상차로 연결되는 같은 형태의 함수

 
 
이번 예제에서는 초기위상이 0인 사인식이 중심에서 시작하고, 초기위상이 0인 코사인식이 양의 최대변위에서 시작한다.
다만 이 설명은 초기위상이 0일 때의 비교다. “사인은 무조건 0에서 시작한다”라고 외우면 위상이 있는 식을 잘못 읽을 수 있다.

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오늘의 손글씨 학습 기록

이번 편에서는 공식을 다시 쓰는 것뿐 아니라, 좌표를 계산해 직접 그래프를 그리는 과정을 남기려 한다.
진폭은 세로방향으로, 주기는 가로방향으로 표시한다. 초기위상을 바꾼 그래프도 함께 그려, 모양의 크기와 반복 간격은 같지만 시간축에서 위치가 달라진다는 것을 확인해보겠다.
 
 

오늘의 핵심정리

진폭 A는 얼마나 크게 움직이는지를 나타낸다.
주기 T와 각진동수 ω는 얼마나 자주 반복하는지를 연결한다.
 

 
초기위상 Φ는 한 주기의 어느 상태에서 시간을 재기 시작하는지 나타낸다.
이번 편으로 1부 「도형에서 삼각함수로」를 마친다. 피타고라스에서 출발해 단위원과 라디안을 거쳐, 반복적인 변위를 나타내는 식까지 연결해보았다.
 
다음 편에서는 그래프의 높이가 아니라 그 높이가 얼마나 빠르게 변하는지를 살펴본다.
 
[구조동역학 기초수학 05] 미분은 무엇을 구하는 걸까?｜평균변화율에서 순간변화율로
 
 
 
 
이번에는 ‘주기 유도 → 좌표 계산과 그래프 → 내 말로 정리’를 한 장에 담으면 됩니다.

① 위쪽｜주기와 각진동수의 관계 유도하기

본문을 가린 뒤, 한 주기 동안 위상각이 \(2\pi\)만큼 증가한다는 조건에서 다음 관계를 직접 유도하세요.

각 식 옆에는 단위도 적습니다.

 
마지막에는 “진동수와 각진동수가 다른 이유”를 한 문장으로 설명하세요.

② 가운데｜새로운 식으로 그래프 그리기

다음 두 변위식을 직접 비교합니다. t는 초 단위 수치, u는 mm입니다.

먼저 두 식의 진폭, 각진동수, 주기, 진동수, 초기위상을 각각 구하세요.
이어서 다음 표를 채웁니다.
 

 
산한 점을 같은 좌표축에 표시하고, 첫 번째 그래프는 실선, 두 번째 그래프는 점선으로 구분하세요.
그래프에는 진폭과 주기를 화살표로 표시합니다. 두 번째 그래프가 첫 번째보다 어느 방향으로 몇 초 이동했는지도 적으세요.
이동량은 두 번째 식의 괄호 안에서 π2를 묶어 확인하면 됩니다.